SICP笔记 - 抽象的艺术

Aug 24, 2018

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0. Overview

记得大二学C++的时候,老师对我们说面向对象最重要的就三点,抽象、继承与封装。但其实抽象却不是面向对象编程中特有的概念,抽象是编程世界最重要的概念之一,因为编程的过程其实就是使用编程语言描述现实世界的过程,而在这个过程中,最重要的过程之一就是对现实世界进行抽象,将其变成一个个抽象的模型。

1. 抽象

SICP的第一章使用了几个例子来描述了代码的抽象过程。

一开始我们的需求很简单,就是求[a, b]区间上所有整数的和,于是有了以下函数:

(define (sum-integers a b)
  (if (> a b)
    0
    (+ a 
      (sum-integers (+ a 1) b))))

过一会我们又有了新的需求,求[a, b]区间上所有整数的平方和,于是又有了以下函数:

(define (sum-squares a b)
  (if (> a b)
    0
    (+ (* a a)
      (sum-squares (+ a 1) b))))

接下来我们还会有更多类似的需求,比如求[a, b]区间上的立方和,比如我们要计算如下序列的值(该序列会缓慢地向\(\pi /8\)收敛):

\[ \frac{1}{1 * 3} + \frac{1}{5 * 7} + \frac{1}{9 * 11} + ... \]

(define (pi-sum a b)
  (if (> a b)
    0
    (+ (/ 1.0 (* a (+ a 2)))
      (pi-sum (+ a 4) b))))

仔细观察可以发现,上面的三个函数都满足同一种模式,我们可以从中抽象出一个模板函数:

(define (<name> a b)
  (if (> a b)
    0
    (+ (<term> a)
      (<name> (<next> a) b))))

实际上,这个抽象出来的模板函数,就是数学家们在很久之前发明出来的sigma notation,也就是:

\[ \sum_{n = a}^{b} f(n) = f(a) + ... + f(b) \]

注意在上面的代码中,我们缺少term以及next的定义,它们都是函数,分别代表要对当前数字要进行的操作,与获取下一个数字的方法。这里我们可以将这两个函数作为参数传入,这也是Lisp的优雅之处。下面是一个符合Lisp语法要求的模板:

(define (sum term a next b)
  (if (> a b)
    0
    (+ (term a)
      (sum term (next a) next b))))

这样一来,我们就可以将我们之前的三个函数分别使用该模板来改写:

(define (sum-integers a b)
  (sum 
    (lambda (x) x) 
    a 
    (lambda (x) (+ x 1)) 
    b))

(define (sum-squares a b)
  (sum 
    (lambda (x) (* x x)) 
    a 
    (lambda (x) (+ x 1)) 
    b))

(define (pi-sum a b)
  (sum 
    (lambda (x) (+ (/ 1.0 (* x (+ a 2)))))
    a
    (lambda (x) (+ x 4))
    b))

可以看到,函数简洁且易读了很多,这就是抽象的力量。

2. 再抽象

\[ \prod_{n = a}^{b} f(n) = f(a) * ... * f(b) \]

与求和类似,我们也可以轻易地定义一个乘积的模板,只需将求和模板中的+改为*即可:

(define (product term a next b)
  (if (> a b)
    0
    (* (term a)
      (product term (next a) next b))))

如果仔细观察的话,我们可以对模板sumproduct再抽象成一个更高级的模板,就叫它accumulate吧:

(define (accumulate combiner null-value term a next b)
  (if (> a b)
    null-value
    (accumulate combiner (combiner (term a) null-value) term (next a) next b)))

然后再重新定义一下sumproduct

(define (product term a next b)
  (accumulate
  *
  1
  term
  a
  next
  b))

(define (sum term a next b)
  (accumulate
  +
  0
  term
  a
  next
  b))

又是一次成功的抽象,但是我们却会发现,这个更高级的抽象并没有给代码带来多大的提升,既没有使代码更精简,也没有使代码更可读。

一味地追求更高级的抽象并不是什么好事,很多纯粹的东西看起来很美,但是却无法在现实世界中立足。作为一个工程师,一个engineer,终究还是要以解决问题为主要目标的,在各种复杂条件下达成完美的妥协,又会有一种平衡之美,那是另一种不亚于纯粹之美的美好。

大三上软件工程的时候,某个我认为非常没水平的老师说软件工程的精髓在于trade-off,我觉得这也许是他说过最有水平的一句话了吧 :)

(The End)

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